【悖論】邏輯上不可能的突擊測驗 (The Surprise test paradox)

那塔拉和易

設想某天課堂，老師宣佈下星期的某個上課日（星期一至星期五）舉行測驗，而且大家預料不到這個測驗將在哪一天舉行。

學生阿捷聽到這宣佈後，卻試圖預測哪一天會舉行這場測驗。有趣的是，阿捷根據老師的宣佈內容，推論出令人驚奇的結論：「下星期不可能舉行這場測驗。」

阿捷的推論如下：

1. 如果這場測驗在星期五舉行，即星期一至四的課堂都沒有舉行測驗，那麼在星期五的前一天晚上，亦即是星期四，我可以預料到星期五會舉行。但根據老師的宣佈，這個測驗是我預料不到在哪一天舉行，於是形成矛盾，因此這場測驗不可能是在星期五舉行。（這推論形式為歸謬法）

2. 不是星期五，這場測驗會否在星期四舉行呢？如果這場測驗是在星期四舉行，也就是星期一至星期三並沒有舉行這場測驗，那在星期三晚上，我將預料到這場測驗或是在星期四舉行，或是在星期五舉行。但根據上述的推論 (1) ，這場測驗不可能在星期五舉行，所以在星期三晚上，我將預料到這場測驗會在星期四舉行。但根據老師的宣佈，這個測驗是我預料不到在哪一天舉行，於是形成矛盾，因此這場測驗不可能在星期四舉行。

3. 根據上述的推論 (1) 和 (2) ，我已排除星期四與星期五舉行測驗的可能。因此，這場考試只可能在星期一至星期三的其中一天舉行。然而，根據上述同樣的推論步驟，測驗都不會在星期三、星期二舉行。最後，只剩下星期一有可能舉行這場測驗。

4. 但如果只剩下星期一有可能舉行這場測驗，即我現在已預料到它會在星期一舉行，所以這場測驗也不會在星期一舉行。

5. 最後，由於這場測驗在下星期哪一天舉行，我都會預料得到。所以這場預料不到的測驗不可能舉行。

現在問題出現了。到底老師能否實現他的宣佈呢？我們似乎有兩種互相矛盾的結論：如果根據阿捷的推論，那麼老師不可能舉行這場預料不到的測驗。但另一方面，常識卻告訴我們，老師當然可能舉行這場預料不到的測驗。因此，悖論 (Paradox) 就出現了：阿捷的推論看起來正確無誤，卻推論出荒謬的結論。

面對這個悖論，也許有人認為，預料不到的測驗當然可能在下星期的其中一天舉行。所以，如果阿捷推論出下星期不可能有這場測驗，那麼阿捷應該不要相信老師的宣佈，那就沒有理由根據老師的宣佈作出推論。悖論應該取消。

不過，這種方案似乎悖理。因為根據常識，預料不到的測驗明顯有可能在下星期舉行，老師的宣佈並無問題。令我們造成困惑的是，阿捷得出違反常識的結論，但推論卻看起來正確無誤。既然我們不承認阿捷的結論，自然需要找出阿捷的推論到底在哪裡出了問題，而不是根據阿捷的結論，否定這個悖論的前設。

我們應該如何處理這個悖論？不同學者有不同的回應。有些學者視老師和學生為互相博弈的狀態，使用博弈論 (Game theory) 作出回應；有些學者視悖論為自我指涉悖論的一種，用邏輯觀點消解 (resolve) 悖論；有些學者則使用哥德爾數處理這個悖論。

不過，在當代不少哲學家視它為知識論的一種悖論。他們主張「一個測驗是大家預料不到」的意思是「大家無法預先知道這測驗在哪一天舉行」、學生的整個推論過程中涉及到自己的認知狀態，因此，它是與知識論概念相關的悖論。