羅素悖論（Russell’s paradox）

張研齋

歷史上發現的悖論（paradox）為數甚多，有些在大眾層面甚為有名，
例如芝諾（Zeno of Eleatic, 490-430 BC）的鳥龜悖論，
有些就只在學術圈有知名度，如韓培爾（Carl Hempel）的烏鴉悖論（Raven paradox）。

羅素悖論（Russell's paradox）算是悖論界的表表者，不僅學者重視這個悖論，連不少非學術圈的人也聽過。
羅素悖論是其中一個集合論悖論（set-theoretical paradox），
源於羅素在 1902 年寄給弗列格（Gottlob Frege）的一封短封。
羅素在這封信裡證明了弗列格的素樸集合論（naive set theory）本身內含矛盾。

甚麼是集合？用最通俗的講法：集合是 “a collection of things” 。
換句話說，將一堆東西收集，所形成的，便是一個集合。
集合可以擁有成員（member）。
集合的成員可以是具體的事物，也可以是抽象的東西。
收集所有貓而形成的集合，成員是一隻隻的貓；收集所有自然數所形成的集合，成員是一個個的自然數。
沒有收集任何東西的集合 ── 即是沒有成員的集合 ── 叫做空集合。
集合的成員本身也可能是集合，例如由自然數的集合所構成的集合。
更複雜的是，有些集合本身可以包含自己，
例如所有集合的集合：假設 X 是所有集合的集合，由於 X 本身也是集合，故 X 包含 X 作為自己的成員。

我們現在可以做一個劃分：所有的集合，它要麻是包含了自己，要麼不包含自己。
依這個劃分，我們得到以下兩個類型的集合：
包含自己的集合
不包含自己的集合
有集合屬於第二類嗎？有，而且不少集合都屬此類。舉例來說，尺子的集合便屬於第二類。
尺子的集合本身是集合，它裡面的成員都是尺子，由於尺子不是集合，所以尺子的集合不包含自己。
然而，仔細看，這兩個分類本身也可以形成集合：

集合1 = { x | x 是包含自己集合 }
集合2 = { x | x 是不包含自己的集合 }

假如有「所有集合的集合」，我們便可將這個集合分成集合 1 和集合 2 。
集合 1 是「由所有包含自己的集合所構成的集合」，集合 2 是「由所有不包含自己的集合所構成的集合」。
尺子的集合、貓的集合、三角形的集合都是集合 2 的成員，因為這些集合都不包含自己。

可是，我們可以問一個問題：集合 2 本身包含自己嗎？
假如集合 2 包含自己，根據集合 2 的定義，它便是不包含自己的集合（因為它的成員都不包含自己），因此集合 2 既包含自己又不包含自己。
假如集合 2 不包含自己，它便屬於第二類，會在集合 2 裡面，因此集合 2 既不包含自己又包含自己。無論包不包含自己，集合 2 都會產生矛盾。

有一個與羅素悖論相提並論的悖論，叫做「理髮師悖論」（Barber paradox）。這個悖論的內容大致是：

有一個理髮師，他聲稱：「我替且只替（所有）不替自己刮鬍子的人刮鬍子」問題是，
他替自己刮鬍子嗎？如果他替自己刮鬍子，根據宣言，他不替自己刮鬍子。
如果他不替自己刮鬍子，根據宣言，他替自己刮鬍子。無論他替不替自己刮鬍子，都會有矛盾。

理髮師悖論是羅素悖論的通俗版本，裡面沒有用到集合論的術語，但結構與羅素悖論一樣。

似乎，當我們肯定有集合 2 ，便無可避免會產生矛盾。
研究邏輯和集合的學者 ── 包括羅素本人 ── 在當時致力於解決羅素悖論所帶來的問題，
其中一個方案由 Ernst Zermelo 在 1908 年提出：其實，根本就沒有所謂的「所有集合的集合」（the set of all sets）。

http://thiseven.blogspot.com/2014/11/russells-paradox.html